Konsep Peluang

Ruang Sampel dan Kejadian

Ruang Sampel adalah suatu gugus yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.

Notasi dari ruang sampel adalah sebagai berikut:

·         S = {e1, e2, …, en},  n = banyaknya hasil

·         n bisa terhingga atau tak terhingga

Contoh:

·         Melempar sebuah dadu : S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ruang Kejadian

Ruang kejadian adalah anak gugus dari ruang sampel, yang memiliki karakteristik tertentu.

Ruang kejadian biasanya dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, …).

                Contoh:

·         Sisi muka muncul dari pelemparan dua buah mata uang:

                                          A = {MM, MB, BM}

Permutasi

Permutasi

Permutasi merupakan kejadian dimana susunan objek yang terpilih diperhatikan. 

Misalkan memilih orang untuk membentuk kepengurusan suatu organisasi, dimana jika  Si A terpilih menempati posisi ketua berbeda maknanya dengan Si A terpilih menempati posisi wakil ketua. 

Permutasi tingkat r dari n unsur/objek dapat dirumuskan sebagai berikut:

                

Contoh

                Dari 5 orang kandidat akan dibentuk susunan pengurus (Ketua, Wakil, Bendahara)

                                N(S) = P⁵₃ = 5!/(5-3)! = 60

Kombinasi

Kombinasi

Kombinasi merupakan kejadian dimana susunan objek yang terpilih tidak diperhatikan. 

Misalkan memilih sejumlah orang  untuk menempati suatu sejumlah kursi tempat duduk, dimana susunan tempat duduk tidak menjadi perhatian.

Kombinasi tingkat r dari n unsur/objek dapat dirumuskan sebagai berikut:

                

Contoh

                Dari 5 orang akan dibentuk tim cepat tepat yang beranggotakan 3 orang.

                                N(S) = C⁵₃ = 5!/(5-3)!3! = 10

Peluang Kejadian

Peluang adalah rasio antara banyaknya kejadian yang diharapkan dari suatu percobaan jika percobaan tersebut pada kondisi yang sama.  Peluang biasanya dinotasikan dengan P, misal P(A) peluang kejadian A.

Beberapa kaidah sebaran peluang, yaitu:

1.       0 £ p(Ai) £ 1, untuk i=1,2, …, n

2.       Jumlah peluang seluruh kejadian dalam ruang contoh adalah 1,

3.       p(A1UA2U…UAm) = p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jika A1, A2, …, Am merupakan kejadian-kejadian yang terpisah . (lepas)

Kejadian Saling Bebas

Kejadian saling bebas adalah kejadian-kejadian yang tidak saling mempengaruhi. 

Peluang dari dua buah kejadian yang saling bebas adalah:

                P(AÇB)=P(A).P(B)

               

                Contoh: Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6.  Jika jenis kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki-laki?

P(A ÇB)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36

Kejadian

¨  Kejadian lepas

   A dan B kejadian lepas jika

   A Ç B=Ø = { }

¨  Kejadian Mustahil

   A kejadian mustahil jika P(A)=0

¨  Kejadian Pasti

   A kejadian pasti jika P(A)=1  

Peluang Bersyarat

¨  Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian (A) jika kejadian lain (B) diketahui telah terjadi. 

¨  Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A/B), dimana:

                P(A/B) = P(AÇB) / P(B)

¨  Jika kejadian A dengan B saling bebas maka,

                P(A/B)=P(A)

Teorema Bayes

¨  Suatu gugus universum disekat menjadi beberapa anak gugus B1, B2, …, Bn dan A suatu kejadian pada U dengan p(B)¹0 maka,

                                P(A) = S P(Bi)P(A/Bi)

¨  Peluang B_k bersyarat A, dapat dihitung sebagai berikut:

                P(B_k/A) = P(B_kÇA)/ P(A)

Sumber= http://www.slideshare.net/ekomardianto148/statistika-1-3-konsep-peluang

Tugas Minggu ke 4

UKURAN PENYEBARAN

Ukuran penyebaran data adalah suatu ukuran untuk mengetahui seberapa jauh penyebaran data dari nilai rata-ratanya.

Istilah lain dari ukuran penyebaran data adalah ukuran dispersi.

A.    Macam-macam ukuran penyebaran data:

a)      Jangkauan atau dengan istilah lain yaitu range.

b)      Simpangan rata-rata

c)      Varians

d)     Quartil

e)      Jangkauan quartil

 B.     Beberapa rumus untuk menentukan nilai ukuran penyebaran data :

1.      Range

R = Xt – Xr

2.      Simpangan rata-rata

Sr = total x - i dibagi n

3.      Varians

V = (total x - i)kuadrat dibagi n

4.      Jangkauan quartil

Jq = q3 - q1

            Keragaman atau variasi setiap kumpulan data daoat di ukur dengan menggunakan suatu nilai numerik yang di sebut sebagai ukuran penyebaran data.

Ada beberapa ukuran penyebaran data ,yaitu :

Rentang

Rentang atau yang biasa di sebut dengan range yang di beri notasi j. Range terebut ialah ukuran variasi yang paling sederhana. Sesungguhnya telah kalian pelajari ketikan membahas langkah-langkah untuk mengubah data mentah menjadi lebel distribusi frekuensi kelompok ,rentang data mendefisinikan sebagai selisih antara datum terbesar dengan datum data terkecil.

Kalian juga dapat mengatakan bahwa semakin kecil rentang  dari distribusi data, semakin cenderung kita menganggap bahwa mean dapat mewakili data yang bersangkutan secara represensentatif. Sebaliknya , semakin besar rentang dari suatu distribusi data, semakin cenderung kita mengatakan bahwa mean yang kita peroleh tidak dapat di gunakan untuk mewakili data yang bersangkutan.

Simpangan interkuartil

Simpangan interkuartil adalah ukuran penyebaran data yang lebih baik dari pada rentang, karena ia mengukur rentang dari 50% data yang di tengah.

Sebagai alternatif, dapat juga di gunakan sebagai simpangan kuartil atau rentang semi-interkuartil, yang di definisikan sebagai setengah dari rentang interkartil.

Oleh karena itu simpangan kuartil di rumuskan sebagai bertikut,

                                         Qn = setengah (Q3 - Q1)

Pada simpangan kuartil, ukuran penyebaran hanya di tentukan oleh nilai kuartil data. Akan tetapi tidak demikian pada ukuran penyabaran simpangan data-data, ragam dan simpangan baku.

http://rianindustrial.blogspot.co.id/2013/06/ukuran-pemusatan-dan-ukuran-penyebaran.html

Tugas Minggu ke 3

UKURAN PEMUSATAN

Ukuran Pemusatan merupakan ukuran yang dapat melihat bagaimana data tersebut mengumpul , ukuran pemusatan data yaitu mencari sebuah nilai yang dapat mewakili dari suatu rangkaian data. Adapun istilah lain dari ukuran pemusatan data adalah ukuran tendensi sentral.

      A.    Macam-macam ukuran pemusatan data :

      a)      Rata-rata hitung (mean)

      b)      Rata-rata harmonis (harmonic mean)

      c)      Rata-rata ukur (geometric mean)

      d)     Median

      e)      Modus

      f)       Rata-rata gabungan

      g)      Mean dengan rata-rata sementara

B.     Rumus untuk menentukan nilai ukuran pemusatan data :

      a)      Rata-rata hitung

      X = total x / n 

      b)      Rata-rata harmonis

      H =  n / total setengah x

c)      Rata-rata ukur

      GM = akar x1, x2, x3,...., xi

      d)     Median

                 Me = jumlah dua data ditengah / 2

      e)      Modus merupakan data yang sering muncul.

Ada pula ukuran pemusatan terbagi menjadi 2 (dua) yaitu ukuran pemusatan data yang belum di kelompokan dan ukuran pemusatan data yang di kelompokan. Dengan ini saya akan membahas tentang ukuran pengukuran pemusatan data yang belum di kelompokan.

Untuk sementara ini, saya akan membahas data yang berdimensi satu. Ukuran pemusatan yang di bahas di BAB 2 ini adalah rata-rata, modus, dan median.

Di dalam ukuran pemusatan yang belun di kelompokan ada : rata-rata ,modus, dan median. Bedanya dengan macam-macam ukuran pemusatan ,yang belum di kelompokan ini hanya di bagi menjadi 3 yaitu yang tadi diatas adalah rata-rata, modus, dan median.

1.      Rata-rata

Rata-rata atau yang sering kita sebut juga dengan mean merupakan rasio dari total nilai pengamatan dengan banyaknya pengamatan. Bila data dari perubah acak X sebanyak n buah dinotasi dengan x1, x2, x3,..., xn.

2.      Modus

Modus merupakan data paling sering muncul dari pengamatan yang telah di peroleh. Dari data pengamatan apabila ada satu modus atau satu data yang memiliki frekuensi paling banyak di sebut sebagai unimodus, apabila ada dua data yang memiliki frekuensi paling banyak di sebut dengan bimodus,dan seterusnya. Notasi dari modus dalam buku ini adalah m.

3.      Median

Mendain adalah ukuran pemusatan di mana data tersebut terbagi menjadi dua sama banyak. Median di notasikan dengan M. Untuk data yang belum di kelompokan, tentunya data ini harus di urutkan terlebih dahulu dari data yang terkecil hingga data yang terbesar.

http://rianindustrial.blogspot.co.id/2013/06/ukuran-pemusatan-dan-ukuran-penyebaran.html

Tugas Minggu ke 2

A. Definisi dan Bentuk Distribusi Frekuensi 

Distribusi Frekuensi adalah pengelompokkan data ke dalam beberapa kategori yang menunjukkan banyaknya data dalam setiap kategori, dan setiap data tidak dapat dimasukkan ke dalam dua atau lebih kategori. Distribusi frekuensi adalah susunan data dalam bentuk tunggal atau kelompok menurut kelas-kelas tertentu dalam sebuah daftar.

Menurut Hasan, distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas tertentu (2005: 41). Sedangkan menurut Suharyadi dan Purwanto, distribusi frekuensi adalah pengelompokan data ke dalam beberapa kategori yang menunjukkan banyaknya data dalam setiap kategori, dan setiap data tidak dapat dimasukkan ke dalam dua atau lebih kategori (2003: 25).

Tujuan distribusi frekuensi ini, yaitu :

1.    Memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami, dan dibaca sebagai bahan informasi.

2.    Memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, grafik.

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan distribusi frekuensi :
1. Untuk dapat menyusun suatu tabel distribusi frekuensi harus tersedia data. Data yang baru saja dikumpulkan dari lapangan disebut data kasar.
Contoh:
Data masa kerja karyawan UMY adalah sbb:

2. Data yang telah disusun ke dalam urutan dari nilai terbesar hingga data terkecil atau sebaliknya disebut array data.
Contoh:
Data masa kerja 40 karyawan UMY adalah sbb:

3. Beda atau selisih antara angka terbesar dengan angka terkecil disebut dengan jarak atau range.
4. Jika array data itu dibagi atas kelompok-kelompok tertentu maka kelompok-kelompok itu disebut dengan kelas.
5. Bilangan-bilangan yang menyatakan banyaknya data yang terdapat dalam setiap kelas disebutfrekuensi.
6. Jarak antara kelas yang satu dengan kelas yang lain disebut interval kelas.

Bentuk Umum Tabel Distribusi Frekuensi

B. Istilah-istilah Dalam Distribusi Frekuensi

Kelas
Adalah penggolongan data yang dibatasi oleh nilai terendah dan nilai tertinggi dalam suatu kelas.

Interval Kelas
Lebar dari sebuah kelas dan dihitung dari perbedaan antara kedua tepi kelasnya. Contoh :

65 – 67 –> Interval kelas pertama

68 – 70 –> Interval kelas kedua

71 – 73 –> Interval kelas ketiga

74 – 76 –> Interval kelas keempat

77 – 79 –> Interval kelas kelima

80 – 82 –> Interval kelas keenam

Batas Kelas (class limit)
Nilai batas tiap kelas dalam sebuah distribusi frekuensi dan dipergunakan sebagai pedoman guna memasukkan angka-angka hasil observasi ke dalam kelas-kelas yang sesuai.

1.    Batas Kelas Bawah (lower class limit) adalah angka pada kolom kelas yang letaknya disebelah kiri.

2.    Batas Kelas Atas (upper class limit) adalah angka pada kolom kelas yang letaknya disebelah kanan.

Tepi Kelas (class boundaries/true limits) :
1. Tepi Kelas Bawah (lower class bounderis)
Batas kelas pertama yang benar-benar dimiliki oleh distribusi frekuensi tersebut, yaitu batas kelas bawah dikurangi 1digit dibelakang koma.

2. Tepi Kelas Bawah (upper class bounderis)
Batas kelas kedua yang benar-benar dimiliki oleh distribusi frekuensi tersebut, yaitu batas kelas atas ditambah 1digit dibelakang koma.

Tepi atas = batas atas + 0,5

Tepi bawah = batas bawah – 0,5

Lebar kelas

Lebar kelas = tepi atas – tepi bawah

Mid Point (titik tengah)
Rata-rata dari kedua batas kelasnya/kelas limitnya. Titik tengah = 1/2 (batas atas + batas bawah)

C. Macam-macam Distribusi Frekuensi

Terdapat dua jenis distribusi frekuensi yaitu:

1. Distribusi frekuensi numerikal (Numerical frequency distribution)
Distribusi frekuensi numerikal yaitu distribusi frekuensi yang pembagian kelas-kelasnya berupa angka-angka atau secara kuantitatif. Contoh distribusi frekuensi numerikal yaitu:

Distribusi Frekuensi Numerikal, dibagi menjadi:
a. Distribusi Frekuensi Relatif
Distribusi frekuensi relatif yaitu distribusi frekuensi yang angka-angka frekuensinya tidak dinyatakan dalam angka-angka absolut tetapi angka-angka relatif atau persentase. Contohnya yaitu:

b. Distribusi Frekuensi Komulatif
Distribusi frekuensi komulatif terdiri dari dua jenis yaitu :
1) Distribusi frekuensi “kurang dari”
Distribusi frekuensi “kurang dari” yaitu distribusi frekuensi yang memasukkan frekuensi kelas-kelas sebelumnya. Contohnya yaitu:

2) Distribusi frekuensi “atau lebih”
Distribusi frekuensi “atau lebih” yaitu distribusi frekuensi yang memasukkan frekuensi kelas-kelas sesudahnya. Contohnya yaitu:

2. Distribusi frekuensi kategoris (Categorical frequency distribution)
Distribusi frekuensi kategoris yaitu distribusi yang pembagian kelasnya berdasarkan kategori-kategori atau secara kualitatif. Contoh Distribusi frekuensi kategoris yaitu:

D. Teknik Pembentukan Distribusi Frekuensi
Ada 2 teknik pembentukan distribusi frekuensi, yaitu:

1. Trial and error

2. Melalui tahap-tahap sebagai berikut:
a. Menentukan banyaknya kelas
Menentukan banyaknya kelas edapat menggunakan kriterium Sturge
K = 1 + 3,322 log n

K = banyaknya kelas yang sedang dicari
n = banyaknya data

b. Menentukan besarnya interval kelas (i)

i = r/k

r = Jarak atau range

k = Banyak kelas

Range = angka terbesar – angka terkecil

c. Menghitung frekuensi data

Contoh Soal
Data berikut ini merupakan nilai ujian Matakuliah Statistik I dari 25 mahasiswa:

Berdasarkan data tersebut:
1. Buatlah tabel distribusi frekuensi.
2. Tentukan batas kelas, tepi kelas, dan titik tengah.
3. Buatlah distribusi frekuensi relative.
4. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari.
5. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif atau lebih.

Penyelesaian:
1. Tabel distribusi frekuensi
Langkah-langkah pembentukan distribusi frekuensi:

a. Menentukan banyaknya kelas
Menentukan banyaknya kelas dapat menggunakan kriterium Sturges:
K = 1 + 3,322 log n
K = 1+ 3,322 log 25
K = 1+ 3,322 (1,398)
K = 5,644
K = 6 (dibulatkan)

b. Menentukan besarnya interval kelas (i)

i = r/k

r = Jarak atau range

k = Banyak kelas

Range = angka terbesar – angka terkecil
Angka terkecil = 27
Angka terbesar = 94
Range = 94 – 27 = 67
Banyaknya kelas = 6

i = 67/6 = 11,17 = 12 (dibulatkan)

c. Membuat tabel distribusi frekuensi

Penyajian distribusi frekuensi

2. Tentukan batas kelas, tepi kelas, dan titik tengah

3. Distribusi frekuensi relatif

Frekuensi kelas 1 = 1/25 x 100 = 0,08 = 4 %
Frekuensi kelas 2 = 3/25 x 100 = 0,08 = 12 %
Frekuensi kelas 3 = 5/25 x 100 = 0,20 = 20 %
Frekuensi kelas 4 = 8/25 x 100 = 0,32 = 32 %
Frekuensi kelas 5 = 5/25 x 100 = 0,20 = 20 %
Frekuensi kelas 6 = 3/25 x 100 = 0,12 = 12 %

4. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari

5. Distribusi frekuensi kumulatif atau lebih

E. Grafik Distribusi Frekuensi

1. Histogram
Histogram adalah diagram batang yang lebarnya menunjukkan interval kelas, sedangkan batas-batas tepi batang merupakan tepi bawah dan tepi atas kelas, dan tingginya menunjukkan frekuensi pada kelas tersebut. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit. Histogram terdiri dari 2 sumbu, sumbu vertikal sebagai skala frekuensi sedangkan sumbu horisontal untuk skala kelas.

Contoh :

Diketahui nilai ujian 40 siswa di SMA Jaya Selalu. Tentukan histogram daftar distribusi frekuensi dan frekuensi relatifnya.

Maka histogramnya

2. Poligon Frekuensi
Poligon Frekuensi yaitu penggambaran distribusi frekuensi dalam bentuk garis yang menghubungkan titik-titik tengah kelasnya sebagai skala kelas. Jenis lain dari poligon frekuensi adalah kurva frekuensi, yaitu penggambaran distribusi frekuensi dalam bentuk garis, dimana luas daerah di bawah kurva kurang lebih sama dengan luas histogram frekuensinya. Kurva frekuensi dapat digambarkan dengan memanfaatkan histogram frekuensi dengan menggunakan angka-angka tepi kelas sebagai skala kelas, dengan menghubungkan titik-titik tengah masing-masing balok.

Contoh :

Berikut ini upah karyawan (dalam ribuan rupiah) per minggu dari sebuah perusahaan.

Hasil akhir dari histogram dan poligon frekuensi dari tabel distribusi frekuensi di atas dapat dilihat pada gambar berikut.

3. Ogive Curve atau Kurva Ogive
Kurva ogive merupakan diagram garis yang menunjukkan kombinasi antara interval kelas dengan frekuensi kumulatif. Kurva ogif menunjukkan frekuensi kumulatif pada setiap tingkat atau kategori. Sumbu horizontal pada kurva ogif menunjukkan tepi interval kelas dan sumbu vertical menunjukkan frekuensi kumulatif. Kurva ogif memudahkan kita untuk melihat frekuensi kumulatif baik dalam bentuk nilai absolute maupun nilai relative pada tingkat atau interval tertentu.

Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut :
a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas)
b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah)

Contoh :

Data upah karyawan sebelumnya dapat digambarkan ogivenya. Akan tetapi sebelum itu, buat terlebih dahulu tabel distribusi frekuensi kumulatifnya.

Dari tabel distribusi frekuensi kumulatif di atas, dapat digambarkan ogive seperti pada diagram berikut.

F. Model-model Populasi

Poligon frekuensi yang merupakan garis patah-patah dapat didekati oleh sebuah lengkungan halus yang bentuknya secocok mungkin dengan bentuk poligon tersebut. Lengkungan yang didapat dinamakan kurva frekuensi. Jika semua data dalam populasi dapat dikumpulkan lalu dibuat daftar distribusi frekuensinya dan akhirnya digambarkan kurva frekuensinya, maka kurva ini dapat menjelaskan sifat-sifat karakteristik populasi. Kurva ini merupakan model populasi yang akan ikut menjelaskan ciri-ciri populasi. Dalam praktek, model populasi ini biasanya didekati oleh atau diturunkan dari kurva frekuensi yang diperoleh dari sampel reprenentatif yang diambil dari populasi.

Untuk keperluan teori dan metode yang lebih lanjut, metode populasi ini dituangkan dalam bentuk persamaan matematik. Beberapa diantaranya akan dibahas kemudian. Pada saat sekarang hanya akan diberikan bentuk kurva untuk model populasi yang sering dikenal. Diantaranya model normal, simetrik, positif atau miring ke kiri, negatif atau miring ke kanan, bentuk J dan U.

1. Model normal, yang sebenarnya akan lebih tepat digambarkan berdasarkan persamaan matematiknya. Bentuk model normal selalu simetrik dan mempunyai sebuah puncak. Kurva dengan sebuah puncak disebut unimodal.

2. Model simetrik, di sini juga unimodal. Perhatikan bahwa model normal selalu simetrik tetapi tidak sebaliknya.

3. Model positif menggambarkan bahwa terdapat sedikit gejala yang bernilai makin besar.

4. Model negatif terjadi sebaliknya. Soal ujian yang terlalu mudah sehingga banyak peserta yang mendapat nilai baik menggambarkan model negatif.

5. model berbentuk J ini terdapat dalam dunia ekonomi, industri dan fisika.

6. Model bentuk U menggambarkan mula-mula terdapat gejala bernilai kecil, kemudian menurun sementara gejala bernilai besar dan akhirnya menaik lagi untuk nilai gejala yang makin besar.

Model dengan lebih dari sebuah puncak disebut multimodal. Kalau hanya ada dua puncak disebut bimodal.

https://vebrianaparmita.wordpress.com/2013/09/21/bab-iii-distribusi-frekuensi-dan-grafik/